یک دلار باقیمانده کجاست؟

این حکایت در سالیان دور اتفاق افتاده است! اما شما می توانید با مطرح کردن آن٬ برای دقایقی دوستان و اطرافیانتان را سرگرم کنید!
یک شب٬ سه نفر مسافر خسته به یک هتل وارد شدند و تقاضای سه اتاق یک نفره کردند. متصدی پذیرش حضور نداشت و یکی از کارکنان خدمات هتل٬ بابت هر اتاق ۱۰ دلار از آنها گرفت (یعنی جمعاْ ۳۰ دلار ) و آنها را به سمت اتاق هایشان راهنمایی کرد٬ اما متوجه شد که سه اتاق خالی وجود ندارد٬ بنابراین به آنها پیشنهاد کرد که یک اتاق سه تخته را به صورت مشترک استفاده کنند و آنها هم پذیرفتند. وقتی متصدی پذیرش برگشت و از موضوع باخبر شد٬ در قیمت کرایه تجدید نظر کرد و ۵ دلار را به صورت اسکناس های یک دلاری برای آنها پس فرستاد. کارگر خدماتی که پول را برای آنها می برد٬ برای این که پول را به صورت مساوی تقسیم کند و خودش هم بی بهره نماند٬ ۲ دلار برای خودش برداشت و به هر کدام از آنها یک دلار برگرداند. بنابراین هر کدام ۹ دلار پرداختند که می شود ۲۷=۳×۹ . ۲ دلار هم که کارگر هتل برای خودش برداشت که با ۲۷ دلار قبلی می شود ۲۹ دلار٬ پس یک دلار باقیمانده کجاست؟
ادامه نوشته

زیبایی

در بن بست هم راه آسمان هست پرواز را بیاموز

آهنگر

آهنگری بود که با وجود رنج های متعدد و بیماری اش عمیقاً به خدا عشق می ورزید. روزی یکی از دوستانش که اعتقادی به خدا نداشت از او پرسید: تو چگونه می توانی خدایی را که رنج و بیماری نصیب می کند دوست داشته باشی؟ آهنگر، سر به زیر آورد و گفت: وقتی می خواهم وسیله ای آهنی بسازم یک تکه آهن را در کوره قرار می دهم. سپس آن را روی سندان می گذارم و می کوبم تا به شکل دلخواهم درآید. اگر به صورت دلخواهم درآمد، می دانم که وسیله مفیدی خواهد بود. اگر نه، آن را کنار می گذارم. همین موضوع باعث شده است که همیشه به درگاه خداوند دعا کنم که خدایا! مرا در کوره های رنج قرار ده، اما کنار نگذار.

زندگی

حرمت اعتبار خود را

هرگز در میدان مقایسه ی خویش با دیگران مشکن
که ما هر یک یگانه ایم
موجودی بی نظیر و بی تشابه

و آرمانهای خویش را
به مقیاس معیارهای دیگران بنیاد مکن
تنها تو می دانی که "بهترین" در زندگانیت
چگونه معنا می شود

از کنار آنچه با قلب تو نزدیک است آسان مگذر
بر آنها چنگ درانداز، آنچنان که در زندگی خویش
که بی حضور آنان، زندگی مفهوم خود را از دست می دهد

زندگیت را با دم زدن در هوای گذشته
و نگرانی فرداهای نیامده
آسان هدر نده

هر روز، همان روز را زندگی کن
و بدین سان تمامی عمر را به کمال زیسته ای

و هرگز امید از کف مده
آنگاه که چیز دیگری
برای دادن در کف داری

همه چیز در همان لحظه ای به پایان می رسد
که قدمهای تو باز می ایستد
و هراسی به خود راه مده
از پذیرفتن این حقیقت که
هنوز پله ای تا کمال فاصله باشد
تنها پیوند میان ما
خط نازک همین فاصله است

برخیز و بی هراس خطر کن
در هر فرصتی بیاویز
و هم بدینسان است که به مفهوم شجاعت
دست خواهی یافت

آنگاه که بگویی دیگر نخواهمش یافت
عشق را از زندگی خویش رانده ای
عشق چنان است که هر چه بیشتر ارزانی داری، سرشارتر شود
و هر گاه که آن را تنگ در مشت گیری، آسان تر از کف رود
پروازش ده تا که پایدار بماند

زندگی مسابقه نیست
زندگی یک سفر است
و تو آن مسافری باش
که در هر گامش

ترنم خوش لحظه ها جاریست

صبا

هندسه

هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آنهاست. همچنین مطالعه ارتباط میان اشکال ، زوایا و فواصـل است.

واژه انگلیسی جئومتری ( هندسه ) از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو»ٍ به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است.بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مصریان اولیه نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. هر سال رودخانة نیل طغیان نموده و نواحی اطراف رودخانه راسیل فرا می گرفت.
این عمل تمام علایم مرزی میان تقسیمات مختلف را از بین می برد و لازم می شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه گیری و مرزبندی نماید. آنها روشی از علامت گذاری زمینها با کمک پایه ها و طنابها اختراع کردند. آنها پایه ای را در نقطه ای مناسب در زمین فرو می کردند، پایه دیگری در جایی دیگر نصب می شد و دو پایه توسط طنابی که مرز را مشخص می ساخت به یکدیگر متصل می شدند.با دو پایه دیگر زمین محصور شده ، محلی برای کشت یا ساختمان سازی می گشت.
با برآمدن یونانیان اطلاعات ریاضی قدم به مرحله ای علمی گذاشت.در آغاز تمام اصول هندسی ابتدایی بود. اما در سال 600 قبل از میلاد مسیح ، یک آموزگار یونانی به نام تالس
، اصول هندسی را از لحاظ علمی ثابت کرد.
در هندسه ، یک واقعیت رافرضیه
می نامند.طالس دلایل ثبوت برخی از فرضیه ها را کشف کرد و آغازگر هندسة تشریحی بود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که دراسکندریه زندگی می کرد ، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود.
وی حدود سال 300 قبل از میلاد مسیح ، تمام نتایج هندسی را که تا به حال شناخته بود ، گرد آورد و آنها را به طور منظم ، در یک مجموعة 13 جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند ، به مدت 2 هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می رفتند.
براساس این قوانین ، هندسه اقلیدسی
 تکامل یافت. هر چه زمان می گذشت ، شاخه های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف ، توسعه می یافت.
امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی
و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می کنیم.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند.قبل از اقلیدس، فیثاغورس
( 572-500 ق.م ) و زنون ( 490 ق.م. ) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک
، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی معمولی بابلی ها را برای پیرامون دایره پذیرفت.به این معنی که دایره را به 360 درجه و درجه را به 60 دقیقه و دقیقه را به 60 قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می داد و این قدیمی ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در قرن پنجم میلادی آپاستامپا
، در قرن ششم ، آرباب هاتا، در قرن هفتم ،براهماگوپتاو در قرن نهم ،بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

 درس های طلایی از آلبرت انیشتین

۱ . کنجکاوی را دنبال کنید

“من هیچ استعداد خاصی ندارم. فقط عاشق کنجکاوی هستم”
چگونه کنجکاوی خودتان را تحریک می کنید؟
من کنجکاو هستم، مثلا برای پیدا کردن علت اینکه چگونه یک شخص موفق است و شخص دیگری شکست می خورد.
به همین دلیل است که من سال ها وقت صرف مطالعه موفقیت کرده ام.
شما بیشتر در چه مورد کنجکاو هستید؟
پیگیری کنجکاوی شما رازی است برای رسیدن به موفقیت.

ادامه نوشته

جملات زیبا در وصف ریاضیات

ژاکوب ژاکویی: " زندگی تنها به این درد می خورد که انسان به دو کار مشغول شود. اول ریاضیات بخواند. دوم ریاضیات درس بدهد."
گاوس: "ریاضیات مادر علوم و حساب مادر ریاضیات است."
انیشتین: "ما در فیزیک تا زمانی که اثبات های ریاضی هستند چیزی را آزمایش نخواهیم کرد!"
پیر سیمون لاپلاس: "تمام آثار طبیعت نتایج ریاضی چند قانون تفسیر ناپذیرند."
ژرژ کانتور: "جوهر ریاضی در آزادی آن نهفته است این علم فارغ از تمام سیاست های جهان به توسعه خود ادامه می دهد و برخلاف سایر موارد توسعه با اقبال جهانی مواجه شده است."

آلبرت انیشتین: "نگران مشکلاتی که در ریاضی دارید نباشید. به شما اطمینان می‌دهم که مشکلات من در این زمینه عظیم‌تر است."
افلاطون: "خداوند در کار ریاضی است."
گالیله: "قوانین طبیعت به زبان ریاضیات نوشته شده است."
لایبنیتز: "راه حل خوب است به شرطی که از همان آغاز بتوان پیشبینی کرد که با به دنبال کردن آن میتوان به هدف رسید."
آلبرت انیشتین: "از وقتی که ریاضی‌دانان از سر و کول «نظریه نسبیت» بالارفته‌اند، دیگر خودم هم از آن سر در نمی‌آورم!"
آلبرت انیشتین: "در دنیا خط مستقیم وجود ندارد و تمام خطوط بدون استثنا منحنی و دایره وار است و اگر این خط کوچکی که در نظر ما مستقیم جلوه میکند در فضا امتداد یابد خواهیم دید که منحنی است"
خیام: "جبرها حقایق هندسی هستند که اثبات می شوند."
افلاطون: "خداوند همیشه با قواعد هندسی تدبیر می کند."
اقلیدس: "در هندسه راه شاهانه وجود ندارد."
هیلبرت: "یک نظریه ی ریاضی را نمی توان کامل شمرد تا این که شما آن را به اندازه ای واضح سازید به طوری که بتوانید آن را برای اولین فردی که در خیابان با وی برخورد می کنید، توضیح دهید."
گالیله: "در ریاضیات آنچه مهم است، فکر کردن است! ریاضیات الفبایی است که خداوند جهان را بر مبنای آن خلق کرد."
ژاکوب ژاکوبی: "ذات حق همیشه به کار حساب مشغول است."
افلاطون: "ریاضیات روح را صفا می بخشد و ذهن را برای درک حقیقت آماده می کند."
غفلت از ریاضیات به تمام علوم و دانشها لطمه می زند.
داوینچی: "هیچ دانشی را نمی توان واقعی دانست مگر اینکه به صورت ریاضی نوشته شود."

سوال

                                    

چهار عدد صحيح ونامنفی دلخواه، مثلا 47، 55، 17، 25 را روی دايره‌‌‌‌‌‌‌‌ای بنويسيد سپس از هر دو عدد مجاور عدد کوچکتر را از عدد بزرگتر کم کنيد و چهار عدد حاصل را روی دايره بعدی قرار دهيد و چهارتائی بعدی را بدست آوريد و...

الف- به نظر شما چه اتفاقی می‌افتد؟

ب- آيا اين پديده برای هر پنج عدد دلخواه هم برقرار است؟

در هر حالت مشاهده خود را بيان کنيد و سعی کنيد نتيجه حاصل را حدس و سپس اثبات کنيد.

 

ادامه نوشته

تاریخچه عدد صفر

یکی از معمول ترین سئوالهائی که مطرح می شود این است که: چه کسی صفر را کشف کرد؟ البته برای جواب دادن به این سئوال بدنبال این نیستیم که بگوئیم شخص خاصی صفر را ابداع و دیگران از آن زمان به بعد از آن استفاده می کردند.

اولین نکته شایان ذکر در مورد عدد صفر این است که این عدد دو کاربرد دارد که هر دو بسیار مهم تلقی می شود یکی از کاربردهای عدد صفر این است که به عنوان نشانه ای برای جای خالی در دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) بکار می رود. بنابراین در عددی مانند 2106 عدد صفر استفاده شده تا جایگاه اعداد در جدول مشخص شود که بطور قطع این عدد با عدد 216 کاملاً متفاوت است. دومین کاربرد صفر این است که خودش به عنوان عدد بکار می رود که ما به شکل عدد صفر از آن استفاده می کنیم.

هیچکدام از این کاربردها تاریخچه پیدایش واضحی ندارند. در دوره اولیه تاریخ کاربرد اعداد بیشتر بطور واقعی بوده تا عصر حاضر که اعداد مفهوم انتزاعی دارند. بطور مثال مردم دوران باستان اعداد را برای شمارش تعداد اسبان، ... بکار می برند و در اینگونه مسائل هیچگاه به مسئله ای برخورد نمی کردند که جواب آن صفر یا اعداد منفی باشد.

بابلیها تا مدتها در جدول ارزش مکانی هیچ نمادی را برای جای خالی در جدول بکار نمی بردند. می توان گفت از اولین نمادی که آنها برای نشان دادن جای خالی استفاده کردن گیومه (") بود. مثلاً عدد6"21 نمایش دهنده 2106 بود. البته باید در نظر داشت که از علائم دیگری نیز برای نشان دادن جای خالی استفاده می شد ولیکن هیچگاه این علائم به عنوان آخرین رقم آورده نمی شدندبلکه همیشه بین دو عدد قرار می گیرند بطور مثال عدد "216 را با این نحوه علامت گذاری نداریم. به این ترتیب به این مطلب پی می بریم که کاربرد اولیه عدد صفر برای نشان دادن جای خالی اصلاً به عنوان یک عدد نبوده است.

البته یونانیان هم خود را از اولین کسانی می دانند کهدرجای خالی ,صفر استفاده می کردند اما یونانیان دستگاه اعداد (جدول ارزش مکانی اعداد) مثل بابلیان نداشتند. اساساً دستاوردهای یونانیان در زمینه ریاضی بر مبنای هندسه بوده و به عبارت دیگر نیازی نبوده است که ریاضی دانان یونانی از اعداد نام ببرند زیر آنها اعداد را بعنوان طول خط مورد استفاده قرار می دادند.

البته بعضى ازریاضی دانان یونانی ثبت اطلاعات نجومی را بر عهده داشتند. در این قسمت به اولین کاربرد علامتی اشاره می کنیم که امروزه آن را به این دلیل که ستاره شناسان یونانی برای اولین بار علامت 0 را برای آن اتخاذ کردند، عدد صفر می نامیم. تعداد معدودی از ستاره شناسان این علامت را بکار بردند و قبل از اینکه سرانجام عدد صفر جای خود را بدست آورد، دیگر مورد استفاده قرار نگرفت و سپس در ریاضیات هند ظاهر شد.

هندیان کسانی بودند که پیشرفت چشمگیری در اعداد و جدول ارزش مکانی اعداد ایجاد کردند هندیان نیز از صفر برای نشان دادن جای خالی در جدول استفاده می کردند.

اکنون اولین حضور صفر را به عنوان یک عدد مورد بررسی قرار می دهیم اولین نکته ای که می توان به آن اشاره کرد این است که صفر به هیچ وجه نشان دهنده یک عدد بطور معمول نمی باشد. از زمانهای پیش اعداد به مجموعه ای از اشیاء نسبت داده می شدند و در حقیقت با گذشت زمان مفهوم صفر و اعداد منفی که از ویژگیهای مجموعه اشیاء نتیجه نمی شدند، ممکن شد. هنگامیکه فردی تلاش می کند تا صفر و اعداد منفی را بعنوان عدد در نظر بگیرید با این مشکل مواجه می شود که این عدد چگونه در عملیات محاسباتی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم عمل می کند. ریاضی دانان هندی سعی بر آن داشتند تا به این سئوالها پاسخ دهندو در این زمینه نیز تا حدودى موفق بوده اند .

این نکته نیز قابل ذکر است که تمدن مایاها که در آمریکای مرکزی زندگی می کردند نیز از دستگاه اعداد استفاده می کردند و برای نشان دادن جای خالی صفر را بکار می برند.

بعدها نظریات ریاضی دانان هندی علاوه بر غرب، به ریاضی دانان اسلامی و عربی نیز انتقال یافت. فیبوناچی، مهمترین رابط بین دستگاه اعداد هندی و عربی و ریاضیات اروپا می باشد.

عدد گنگ

عدد گُنگ، یا عدد اصم، هر عدد حقیقی است که گویا نباشد، یعنی نتوان آن را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعه‌ای ناشمارا است. از معروفترین این اعداد می‌توان از π، e و ۲√ نام برد.

ادامه نوشته

عدد اول

   
غربال اراتستن الگوریتمی ساده و قدیمی برای یافتن همهٔ اعداد اول تا عدد طبیعی برگزیده است. این الگوریتم پیش از غربال آتکین، که سریع‌تر و پیچیده‌تر بود، مورد استفاده قرار می‌گرفت. غربال اراتستن را اراتستن، ریاضیدان یونان باستان در قرن سوم پیش از میلاد ابداع کرد.

                                                           

عدد اول (به انگلیسی: Prime number) عددی طبیعی است که بر هیچ عددی بجز خود و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است. علامت اختصاری این اعداد  n \! است.

رقم یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه‌ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود:

۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷، ۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹

ادامه نوشته

دستگاه شمارش

دستگاه شمارش یا دستگاه اعداد یک دستگاه نشانه گذاری ریاضی است برای نشان دادن اعداد یک مجموعه توسط نمادها به شیوه‌ای سازگار. این دستگاه طوری است که امکان می‌دهد تا عددی مانند «۱۱» در دستگاه اعداد دودویی، سه تفسیر شود و در دستگاه اعداد دهدهی یازده و در دستگاه‌های دیگر، عددهایی دیگر.

ادامه نوشته

نظریه اعداد

 
ادامه نوشته